折り紙でしか作れない七角形

図：折り紙による７角形グラフ（arXiv 2608.13592から引用）

今朝は数学から一篇。Haroldo Costa Silva Filho「Origametry and antagonistic heptagon graphs: the braced {35,1} and the complete {21,2}」です。arXiv番号は 2608.13592、投稿日は2026年7月28日。8月17日の数学新着一覧に掲載されました。6ページ、図2点という短い論文です。

題材は「単位距離グラフ」。すべての辺の長さが1になるよう平面上に配置できるグラフです。著者は、どちらも七角形を思わせる二つのグラフを比べています。一方は頂点21・辺42の「完全七角形」、もう一方はそこから隣接する2頂点を取り除いた頂点19・辺35の「補強七角形」。見た目は近いのに、数学的性質が正反対だというのが出発点です。

面白いのは、ここで定規とコンパスではなく折り紙幾何学（origametry）が登場することです。正七角形自体が定規とコンパスでは作図できません。しかし折り紙では、紙を折って点や線を一致させる操作によって三次方程式まで解けるため、定規とコンパスより強い作図能力を持ちます。論文では藤田−羽鳥の折り紙公理を使い、七角形グラフの作図可能性を代数体の性質と結びつけています。

さらに妙なのは剛性です。完全七角形は辺が多く、形が一意に決まる「大域的剛性」を持つ。一方、辺をわずかに取り除いた補強七角形は、局所的には必要最小限の剛性を持ちながら、全体としては一意に決まりません。その可能な実現数を数えるLaman numberは 3,869,504 に達し、しかもその素因数103と587のため、単一の折り紙操作でも一般には作れない領域へ出てしまいます。

ここがこの論文の「引っかかる」ところです。紙を一枚折るという極めて物理的な操作が、グラフの剛性、三次方程式、体の拡大、組合せ論を一本につないでいる。しかも「辺を減らしただけ」で、作図の世界が急に何百万通りへ裂ける。形とは、辺の集合だけではなく、代数的な可能性の塊なのだと見えてきます。

留保として、これは6ページのプレプリントで、査読済み論文ではありません。また著者自身も、Edward Pegg Jr.との往復書簡から生じた問題だと記しています。完成した大理論というより、幾何・代数・折り紙の境界に置かれた、かなり魅力的な小問題として読むのが適切でしょう。